ペアノの公理の一意性

2020/04/172020/09/29

今日の目標

ペアノシステムの一意性を示す。

ペアノシステムの一意性

前にペアノシステムを
「集合」で構成したけどさ

↓これね

定義

集合 $\NN$ とその要素 $0 \in \NN$ と写像 $s: \NN \rightarrow \NN$ の組 $(\NN, 0, s)$ で

(P1)

$s$ は単射

(P2)

$0 \not\in s[\NN]$

(P3)

$\NN$ の部分集合 $A$ が

$0 \in A$$s[A] \subseteq A$

を共に満たせば $A = \NN$

を満たすものをペアノシステムと呼ぶ。

実際に構成できたから
ペアノシステムの存在はわかったけど

一意性は？

良い質問ですねえ

2つのペアノシステム $(\NN, 0, s), (\NN’, 0{}’, s’)$ を取ったときに
何が起こるかというと……

定理（ペアノシステムの一意性）

ペアノシステム $(\NN, 0, s), (\NN’, 0{}’, s’)$ に対し、全単射写像 $F: \NN \rightarrow \NN’$ で

(1)

$F(0) = 0{}’$

(2)

$F(s(n)) = s'(F(n)) \qquad (n \in \NN)$

を満たすものが唯一つ存在する。

うん？どういうこと？

2つのペアノシステム $(\NN, 0, s), (\NN’, 0{}’, s’)$ があると

こんな風になってるわけだけど

こんな全単射 $F: \NN \rightarrow \NN’$ があるよってこと

実質同じ構造になるってことか

言い換えたらこんな可換図式を作るような
全単射 $F$ があるってことだから
あんなステートメントになる

ペアノシステムの一意性の証明

定理（ペアノシステムの一意性）

ペアノシステム $(\NN, 0, s), (\NN’, {0}’, s’)$ に対し、全単射写像 $F: \NN \rightarrow \NN’$ で

(1)

$F(0) = 0{}’$

(2)

$F(s(n)) = s'(F(n)) \qquad (n \in \NN)$

を満たすものが唯一つ存在する。

あこれ再帰的定義としてみなせる？

そうそう
以前こんなの示したよね

定理

集合 $X$ と $x_0 \in X$ と写像 $R: \NN \times X \rightarrow X$ に対し、写像 $f: \NN \rightarrow X$ で $$\left\{ \begin{aligned} f(0) &= x_0 \\ f(s(n)) &= R(n, f(n)) \qquad (n \in \NN) \end{aligned} \right.$$ を満たすものが唯一つ存在する。