正則行列と逆行列の理論の演習問題 18 問（解答付き）｜線形代数学

正方行列 $B_1, B_2$ が $$AB_1 = B_1 A = I$$ $$AB_2 = B_2 A = I$$ を満たすとする。このとき $$B_1 = B_1 I = B_1 A B_2 = I B_2 = B_2$$ となるので、$AB = BA = I$ となる正方行列 $B$ は存在すればただ一つである。

$AB = I$ となる正方行列 $A, B$ に対し $$\det A \det B = \det(AB) = \det I = 1$$ なので $\det A \neq 0$ である。よって $A$ は正則行列で、逆行列 $A^{\minus 1}$ が存在し、 $$BA = A^{\minus 1}ABA = A^{\minus 1}A = I$$

$II = I$ なので $I$ は正則行列であり、$I^{\minus 1}$ である（問題２）。

任意の正方行列 $B$ に対し $OB = O \neq I$ なので $O$ は正則行列でない。

$A$ が正則行列のとき、逆行列 $A^{\minus 1}$ が存在し、 $$A^\top(A^{\minus 1})^\top = (A^{\minus 1} A)^\top = I^\top = I$$ となる。よって $A^\top$ は正則行列であり、$A^\top$ の逆行列は $(A^{\minus 1})^\top$ である（問題２）。

$A = (a_{i,j})_{i,j}$ と書くと \begin{align} \text{$A$ が正則行列} &\iff \det A \neq 0 \\&\iff a_{1,1} \cdots a_{n,n} \neq 0 \\&\iff \text{各 $i$ に対し $a_{i,i} \neq 0$} \\&\iff \text{$A$ の対角成分に $0$ がない} \end{align}

「$n$ 次の正則な上三角行列の逆行列は上三角行列」を $n$ についての数学的帰納法で示す。

$A$ が正則行列なので $A^{\minus 1}$ が存在し、 $$(cA)\pbr{\dfrac{1}{c}A^{\minus 1}} = \pbr{c \cdot \dfrac{1}{c}} A A^{\minus 1} = I$$ である。よって $cA$ は正則行列であり、$(cA)^{\minus 1} = \dfrac{1}{c}A^{\minus 1}$ である（問題２）。

$A$ も $B$ も正則行列なので $A^{\minus 1}$ と $B^{\minus 1}$ が存在し、 $$(AB) \pbr{B^{\minus 1}A^{\minus 1}} = AIA^{\minus 1} = AA^{\minus 1} = I$$ となる。よって $AB$ は正則で $(AB)^{\minus 1} = B^{\minus 1}A^{\minus 1}$ となる（問題２）。

いま $\det A = 0$ であるので、 $$\det (AB) = \det A \det B = 0$$ $$\det (BA) = \det B \det A = 0$$ となる。よって $AB$ も $BA$ も正則ではない。

$A$ を冪零行列とし、$A^m = O$ なる正整数 $m$ を取る。このとき $${\abs A}^m = \abs{A^m} = \abs{O} = 0$$ となるので $\abs A = 0$ である。よって $A$ は正則行列ではない。

$k$ を $A^k = O$ となる最小の正整数とする。$k = 1$ のときは $A = O$ なので自明。以下 $k \geq 2$ とする。 $A^{k \minus 1} \neq O$ なので、 $$A^{k \minus 1} v \neq \boldsymbol{0}$$ となる $v \neq \boldsymbol{0}$ が存在する（※１）。このとき $k$ 個のベクトル

$v, A v, A^2 v, \ldots, A^{k \minus 1} v$

ここで $k \gt n$ を仮定すると、この $k$ 個のベクトルは一次従属となるので $$v = c_1 Av + c_2 A^2 v + \cdots + c_{k \minus 1} A^{k\minus 1}v$$ と表されるが、両辺に左から $A^{k\minus 1}$ を掛けると $A^{k \minus 1}v = \boldsymbol{0}$ となるので矛盾。よって $k \leq n$ であり、したがって $A^n = O$ である。

$A^n = O$ であることに注意（問題１５）すると \begin{align} &\phantom{ {}={} } (I + cA)(I + (\minus cA) + \cdots + (\minus cA)^{n \minus 1}) \\&= I + (\minus cA) + \cdots + (\minus cA)^{n \minus 1} \\&\qquad\qquad \minus (\minus cA) \minus (\minus cA)^2 \minus \cdots \minus (\minus cA)^n \\&= I \minus (\minus cA)^n \\&= I \end{align} であるので $I + cA$ は正則行列であり、 $$(I + cA)^{\minus 1} = I + (\minus cA) +\cdots + (\minus cA)^{n \minus 1}$$ である。

$A^{\minus 1} + B^{\minus 1} = I$ の左から $A$ を、右から $B$ を掛けると $$B + A = AB$$ となる。このとき $$(A \minus I)(B \minus I) = AB \minus A \minus B + I = I$$ となる。よって $A \minus I$ も $B \minus I$ も正則行列で $(A \minus I)^{\minus 1} = B \minus I$ となる。

$k$ についての数学的帰納法で示す。$k = 1$ のときは自明。

正整数 $k$ に対し、正則行列 $A$ が $k+1$ 個の正方行列 $B_1, \ldots, B_k, B_{k+1}$ を用いて $$A = B_1 \cdots B_k B_{k + 1}$$ と表されているとする。$A$ が逆行列を持つので $$A^{\minus 1}B_1 \cdots B_k B_{k + 1} = A^{\minus 1} A = I$$ となり、よって $B_{k + 1}$ は正則で $$B_{k + 1}^{\minus 1} = A^{\minus 1}B_1 \cdots B_k$$ となる。更にこのとき正則行列 $AB_{k + 1}^{\minus 1}$ が $k$ 個の正方行列 $B_1, \ldots, B_k$ の積で表される。したがって帰納法の仮定より $B_1, \ldots, B_k$ はいずれも正則で、各 $i$ に対し \begin{align} B_i^{\minus 1} &= (B_{i + 1} \cdots B_{k}) (AB_{k + 1}^{\minus 1})^{\minus 1} (B_1 \cdots B_{i \minus 1}) \\&=(B_{i + 1} \cdots B_{k} B_{k+1}) A^{\minus 1} (B_1 \cdots B_{i \minus 1}) \end{align} となり、証明が終わる。