行列式の理論の演習問題 18 問(解答付き)|線形代数学

2020/07/06

今日の目標

行列式の定義式に慣れる。演習問題で証明を書けるようになる。

この記事で使う記号や用語
  • $\NN$ を非負整数全体の集合とする。
  • $S_n$ を $\cbr{1, \ldots, n}$ から $\cbr{1, \ldots, n}$ への全単射全体とする($n$ 次対称群)。
  • 置換 $\sigma \in S_n$ に対し $\sgn \sigma$ を $\sigma$ の符号とする。
  • $\text{id}_n$${} \in S_n$ を $\cbr{1, \ldots, n}$ 上の恒等写像とする(恒等置換)。
  • $\sigma, \tau \in S_n$ に対し $\sigma \tau = \sigma \circ \tau$ とする。つまり $(\sigma \tau)(i) = \sigma(\tau(i))$ とする。
  • 単位行列を $I$ と書く。
  • 行列 $A$ の転置行列を $A^\top$ と表す。
mizuha
計算問題をご所望のかたはこちら ↓

定義の確認

定義(行列式)

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i,j})_{i, j} $ に対し、$A$ の行列式 $\det A$ を $$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)}$$ で定める。$\det A$ を $\abs A$ とも書く。

練習問題

行列 $A = \pbr{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}} $ の行列式 $\det A$ を定義に従って計算せよ。

解答例

$A = (a_{i,j})_{i,j}$ とする。$S_3 = \cbr{\text{id}_3, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)}$ なので

$\sigma = \text{id}_3$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} = 1 \cdot 5 \cdot 9 = 45$

$\sigma = (1\ 2)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = \minus a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} = \minus 2 \cdot 4 \cdot 9 = -72$

$\sigma = (1\ 3)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = \minus a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} = \minus 3 \cdot 5 \cdot 7 = -105$

$\sigma = (2\ 3)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = \minus a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} = \minus 1 \cdot 6 \cdot 8 = -48$

$\sigma = (1\ 2\ 3)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} = 2 \cdot 6 \cdot 7 = 84$

$\sigma = (1\ 3\ 2)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96$

よって \begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in S_3} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} \\&= 45 \minus 72 \minus 105 \minus 48 + 84 + 96 = 0 \end{align}

練習問題(2次正方行列の行列式)

$2$ 次正方行列 $A = (a_{i,j})_{i,j}$ の行列式を定義に従って計算して \begin{align} \det A = {}&a_{1,1} a_{2,2} \minus a_{1,2} a_{2,1} \end{align} を確かめよ。

解答例

$S_2 = \cbr{\text{id}_2, (1\ 2)}$ なので

$\sigma = \text{id}_2$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} = a_{1,1} a_{2,2}$

$\sigma = (1\ 2)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} = \minus a_{1,2} a_{2,1} $

よって \begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in S_2} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \\ &= a_{1,1} a_{2,2} \minus a_{1,2} a_{2,1} \end{align}

練習問題(3次正方行列の行列式、サラスの方法)

$3$ 次正方行列 $A = (a_{i,j})_{i,j}$ の行列式を定義に従って計算して \begin{align} \det A = {}&a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} + a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} + a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} \\ &\qquad \minus a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} \minus a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} \minus a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} \end{align} を確かめよ。

解答例

$S_3 = \cbr{\text{id}_3, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)}$ なので

$\sigma = \text{id}_3$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3}$

$\sigma = (1\ 2)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = \minus a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3}$

$\sigma = (1\ 3)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = \minus a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1}$

$\sigma = (2\ 3)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = \minus a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2}$

$\sigma = (1\ 2\ 3)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1}$

$\sigma = (1\ 3\ 2)$ のとき

$(\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} = a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2}$

よって \begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in S_3} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} \\ &= a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} + a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} + a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} \\ &\quad\qquad \minus a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} \minus a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} \minus a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} \end{align}

演習問題(理論編)

問題1(単位行列の行列式)

単位行列の行列式が $1$ であることを示せ。つまり $\det{I} = 1$ を示せ。

解答例

$I$ の $(i,j)$-成分を $a_{i,j}$ とすると、単位行列の定義より $$a_{i,j}= \begin{cases} 1 & (\text{$i = j$ のとき}) \\ 0 & (\text{$i \neq j$ のとき}) \end{cases} $$ である。置換 $\sigma$ が恒等置換 $\text{id}_n$ でないならば、$\sigma(k) \neq k$ となる $k$ が存在して $a_{k,\sigma(k)} = 0$ となるため $$a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = 0$$ となる。よって \begin{align} \det I &= \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \\&= (\sgn \text{id}_n) a_{1,\text{id}_n(1)} \cdots a_{n,\text{id}_n(n)} \\&= 1 \end{align}

問題2(転置行列の行列式)

行列式は転置しても変わらないこと、すなわち $$ \det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} = \det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots & a_{n,1} \\ a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots & a_{n,2} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} $$ であることを示せ。つまり次を示せ。 \begin{align} &\sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} =\sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \end{align}

解答例

$\iset{\sigma}{\sigma \in S_n} = \iset{\sigma^{\minus 1}}{\sigma \in S_n}$ (※1) なので \begin{align} \text{(左辺)} &= \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \pbr{\sigma^{\minus 1}}) a_{1,\sigma^{\minus 1}(1)} \cdots a_{n,\sigma^{\minus 1}(n)} \end{align} である。ここで $\cbr{1, \cdots, n} = \cbr{\sigma(1), \cdots, \sigma(n)}$ を用いると \begin{align} a_{1,\sigma^{\minus 1}(1)} \cdots a_{n,\sigma^{\minus 1}(n)} &= a_{\sigma(1),\sigma^{\minus 1}(\sigma(1))} \cdots a_{\sigma(n),\sigma^{\minus 1}(\sigma(n))} \\&=a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n} \end{align} となり、また $\sgn \sigma = \sgn \pbr{\sigma^{\minus 1}}$ (※2) なので $\text{(左辺)} = \text{(右辺)}$ を得る。

mizuha
(※1)
$\iset{\sigma}{\sigma \in S_n} \supseteq \iset{\sigma^{\minus 1}}{\sigma \in S_n}$ は自明
逆に $\sigma \in S_n$ を任意に取ると
$\sigma = (\sigma^{\minus 1})^{\minus 1} \in \iset{\sigma^{\minus 1}}{\sigma \in S_n}$
mizuha
(※2)
$\sgn \sigma$ も $\sgn(\sigma^{\minus 1})$ も $1$ か $\minus 1$ だけど
$\sgn \sigma \sgn(\sigma^{\minus 1}) = \sgn(\sigma \sigma^{\minus 1}) =\sgn(\text{id}_n) = 1$
だから「どちらも $1$」または「どちらも $\minus 1$」
問題3(三角行列の行列式)

三角行列の行列式は対角成分の積であることを示せ。つまり次を示せ。 $$\det\pbr{ \begin{matrix} a_{1, 1} & 0 & \cdots & 0 \\ * & a_{2, 2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ * & \cdots & * & a_{n, n} \end{matrix} }= a_{1,1} \cdots a_{n,n} $$ $$\det\pbr{ \begin{matrix} a_{1, 1} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{2, 2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & * \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n, n} \end{matrix} }= a_{1,1} \cdots a_{n,n} $$

解答例

問題2より前者だけ示せば十分。

左辺の行列を $A = (a_{i,j})_{i,j}$ とする。$i \lt j$ ならば $a_{i,j} = 0$ であることに注意。行列式の定義より \begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \end{align} であるが、次が成り立つ。

置換 $\sigma$ が $\text{id}_n$ でないならば、$i \lt \sigma(i)$ となる $i$ が存在する

$\sigma \neq \text{id}_n$ より、$k \neq \sigma(k)$ となる $k$ が存在する。$k \lt \sigma(k)$ の場合は自明。$k \gt \sigma(k)$ の場合、$1 + \cdots + n = \sigma(1) + \cdots + \sigma(n)$ より \begin{align} &1 + \cdots + (k \minus 1) + (k + 1) + \cdots + n \\&\qquad \lt \sigma(1) + \cdots + \sigma(k \minus 1) + \sigma(k + 1) + \cdots + \sigma(n) \end{align} となるので $i \lt \sigma(i)$ となる $i$ が存在する。

よって $\text{id}_n$ でない置換 $\sigma$ に対しては $a_{i,\sigma(i)} = 0$ となる $i$ が存在するので $$a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = 0$$ となる。したがって \begin{align} \det A &= (\sgn \text{id}_n) a_{1,\text{id}_n(1)} \cdots a_{n,\text{id}_n(n)} \\&= a_{1,1} \cdots a_{n,n} \end{align}

問題4(行列式は行列の加法で閉じない)

正方行列 $A, B$ に対し $\det(A + B) = \det A + \det B$ は一般に成り立つか?

解答例

一般には成り立たない。実際 $$A = \pbr{\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}} \qquad B = \pbr{\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}} $$ とすると $\det A + \det B = 0 + 0 = 0$ であるが、 $$A + B = \pbr{\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}} $$ なので $\det(A + B) = 1$ である。

問題5(列の入れ替えと行列式)

正方行列の2つの列を入れ替えると行列式の符号が反転することを示せ。つまり次を示せ。 \begin{align} &\det \overset{(1) \qquad\qquad (k) \qquad\qquad (\ell) \qquad\qquad (n)}{ \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} & \cdots & a_{1,\ell} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \ & \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k} & \cdots & a_{n,\ell} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} } \\ \\ ={}&\minus\det \overset{(1) \qquad\qquad (k) \qquad\qquad (\ell) \qquad\qquad (n)}{ \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, \ell} & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \ & \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, \ell} & \cdots & a_{n,k} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} } \end{align} ※これと問題2より、2つの行を入れ替えても行列式の符号は反転する。

解答例

$\tau = (k\ \ell)$ とする。左辺の行列を $A$ とし、右辺の行列を $B = (b_{i,j})_{i,j}$ と書くと $b_{i,j} = a_{i,\tau(j)}$ であり、 \begin{align} \det B &= \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) b_{1, \sigma(1)} \cdots b_{n, \sigma(n)} \\&= \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\tau(\sigma(1))} \cdots a_{n,\tau(\sigma(n))} \\&= \sum_{\sigma \in S_n} (\minus \sgn \tau)(\sgn \sigma) a_{1,\tau(\sigma(1))} \cdots a_{n,\tau(\sigma(n))} \\&= \minus \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \tau \sigma) a_{1,(\tau \sigma)(1)} \cdots a_{n,(\tau \sigma)(n)} \end{align} となる。ここで $\iset{\sigma}{\sigma \in S_n} = \iset{\tau\sigma}{\sigma \in S_n}$ (※)を用いて \begin{align} \det B &= \minus \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \\&=\minus \det A \end{align} となり $\det A = \minus \det B$ を得る。

mizuha
(※)
$\iset{\sigma}{\sigma \in S_n} \supseteq \iset{\tau\sigma}{\sigma \in S_n}$ は自明
逆に $\sigma \in S_n$ を任意に取ると
$\sigma = \tau(\tau^{\minus 1}\sigma) \in \iset{\tau\sigma}{\sigma \in S_n}$
問題6(2つの列が一致する行列の行列式)

2つの列が一致する正方行列の行列式は $0$ であることを示せ。つまり次を示せ。 \begin{align} \det \overset{(1) \qquad\qquad (k) \qquad\qquad (\ell) \qquad\qquad (n)}{ \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \ & \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k} & \cdots & a_{n,k} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} } =0 \end{align} ※これと問題2より、2つの行が一致する正方行列の行列式も $0$ である。

解答例

この行列を $A = (a_{i,j})_{i,j}$ とし(各 $i$ に対し $a_{i,\ell} = a_{i,k}$)、$\tau = (k \ \ell)$ とする。偶置換全体の集合を $A_n$ とすると、$S_n$ は $A_n$ と $\iset{\sigma\tau}{\sigma \in A_n}$ の非交差和なので \begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in A_n} (\sgn \sigma)a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n}+ \sum_{\sigma \in A_n} (\sgn \sigma \tau)a_{\sigma\tau(1),1} \cdots a_{\sigma\tau(n),n} \\&= \sum_{\sigma \in A_n} \pbr{(\sgn \sigma)a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n} + (\sgn \sigma\tau)a_{\sigma\tau(1),1} \cdots a_{\sigma\tau(n),n}} \end{align} となる。ここで $\sigma \in A_n$ に対し \begin{align} &\phantom{ {}={} }(\sgn \sigma\tau)a_{\sigma\tau(1),1} \cdots a_{\sigma\tau(k),k} \cdots a_{\sigma\tau(\ell),\ell} \cdots a_{\sigma\tau(n),n} \\ &= \minus (\sgn \sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(\ell),k} \cdots a_{\sigma(k),\ell} \cdots a_{\sigma(n),n} \\ &= \minus (\sgn \sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(\ell),\ell} \cdots a_{\sigma(k),k} \cdots a_{\sigma(n),n} \\ &= \minus (\sgn \sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(k),k} \cdots a_{\sigma(\ell),\ell} \cdots a_{\sigma(n),n} \end{align} となるので $\det A = 0$ となる。

行列の成分が実数や複素数のとき(標数が $2$ でないとき)の解答例

この行列を $A$ とすると、$A$ の第 $k$ 列と第 $\ell$ 列を入れ替えても $A$ のままなので $$\det{A} = \minus \det{A}$$ となる(問題5)。よって $\det{A} = 0$ を得る。

mizuha
$1 + 1 = 0$ になるような体では
$\det A = \minus \det A$ だからといって
$\det A = 0$ とは限らないから
行列式の定義に遡って示すと良いです
mizuha
問題6を先に示してから
問題6を使って問題5を示すのもあり
問題7(行列式の斉次性)

行列式の列ベクトルに関する斉次性を示せ。つまり次を示せ。 \begin{align} &\det \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & t b_1& a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & t b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \\ \\ ={}&t \cdot \det \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & b_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \end{align} ※これと問題2より、行ベクトルに関する斉次性も成り立つ。

解答例

転置行列の行列式を考えて(問題2)、 \begin{align} &\det \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & t b_1& a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & t b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \\ \\ ={}&\sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(k \minus 1), k \minus 1} \cdot (t b_{\sigma(k)} ) \cdot a_{\sigma(k + 1), k + 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \\ \\ = {}& t \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(k \minus 1), k \minus 1} \cdot b_{\sigma(k)} \cdot a_{\sigma(k + 1), k + 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \\ \\ ={}&t \cdot \det \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & b_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \end{align}

問題8(行列式の加法性)

行列式の列ベクトルに関する加法性を示せ。つまり次を示せ。 \begin{align} &\det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & b_1 + c_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & b_n + c_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \\ \\ \\ ={}&\det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & b_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \\ \\ &\qquad + \det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & c_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & c_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \end{align} ※これと問題2より、行ベクトルに関する加法性も成り立つ。

解答例

転置行列の行列式を考えて(問題2)、 \begin{align} &\det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & b_1 + c_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & b_n + c_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \\ \\ ={}&\sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(k \minus 1), k \minus 1} \cdot (b_{\sigma(k)} + c_{\sigma(k)}) \cdot a_{\sigma(k + 1), k + 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \\ \\ = {}& \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(k \minus 1), k \minus 1} \cdot b_{\sigma(k)} \cdot a_{\sigma(k + 1), k + 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \\&\quad + \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(k \minus 1), k \minus 1} \cdot c_{\sigma(k)} \cdot a_{\sigma(k + 1), k + 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \\ \\ ={}&\det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & b_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \\ \\ &\qquad + \det\pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k \minus 1} & c_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k \minus 1} & c_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} \end{align}

問題9(零ベクトルを含む行列の行列式)

全ての要素が $0$ であるような列を持つ正方行列の行列式は $0$ であることを示せ。つまり次を示せ。 $$ \det \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, \ell \minus 1} & 0 & a_{1,\ell+1} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \vdots& \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, \ell \minus 1} & 0 & a_{n,\ell+1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} =0 $$ ※これと問題2より、全ての要素が $0$ であるような行を持つ正方行列の行列式も $0$ である。

解答例1(斉次性を利用)

この行列を $A$ とする。第 $\ell$ 列をすべて $2$ 倍しても $A$ のままなので、行列式の斉次性(問題7)より $$\det{A} = 2\det{A}$$ となり、$\det{A} = 0$ を得る。

解答例2(直接示す)

この行列を $A = (a_{i,j})_{i,j}$ とすると、各 $i$ に対し $a_{i,\ell} = 0$ である。任意の $\sigma \in S_n$ に対し $\sigma(k) = \ell$ となる $k$ が存在して、このとき $a_{k,\sigma(k)} = 0$ となることから $$ \det A = \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = 0 $$ となる。

問題10(ある列の定数倍を他の列に加えるときの行列式)

正方行列のある列の定数倍を他の列に加えても行列式が変わらないことを示せ。つまり次を示せ。 \begin{align} & \det \overset{(1) \qquad\qquad (k) \qquad\qquad\quad\ \ (\ell) \quad\qquad\qquad (n)}{ \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} & \cdots & t a_{1,k} + a_{1,\ell} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \ & \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k} & \cdots & t a_{n,k} + a_{n,\ell} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} } \\ \\ ={}& \det \overset{(1) \qquad\qquad (k) \qquad\qquad (\ell)\qquad\qquad (n)}{ \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} & \cdots & a_{1,\ell} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \ & \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k} & \cdots & a_{n,\ell} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} } \end{align}

※これと問題2より、ある行の定数倍を他の行に加えても行列式は変わらない。
解答例

$v_j = \pbr{\begin{matrix} a_{1, j} \\ \vdots \\ a_{n, j} \end{matrix} }$ $(j = 1, \ldots, n)$ と書くと、行列式の斉次性と加法性(問題7~7)より \begin{align} \text{(左辺)} &= t \cdot \det \overset{ \ \ (k) \quad\qquad \ (\ell) \ \ \ }{ \pbr{ \begin{matrix} v_1 & \cdots & v_k & \cdots & v_k & \ldots & v_n \end{matrix} } } \\ \\ & \qquad + \det \overset{ \ \ (k) \quad\qquad \ (\ell) \ \ \ }{ \pbr{ \begin{matrix} v_1 & \cdots & v_k & \cdots & v_\ell & \ldots & v_n \end{matrix} } } \end{align} となるが、2つの列が一致する行列式は $0$ なので(問題6)、$(\text{左辺}) = (\text{右辺})$ が得られる。

問題11(積の行列式は行列式の積、det AB = det A det B)

$n$ 次正方行列 $A,B$ に対し $\det {AB} = \det A \det B$ であることを示せ。

解答例

$A = (a_{i,j})_{i,j}$ および $B = (b_{i,j})_{i,j}$ と書き、$A$ の第 $j$ 列を $$v_j = \pbr{ \begin{matrix} a_{1, j} \\ \vdots \\ a_{n, j} \end{matrix} } \qquad(j = 1, \ldots, n) $$ と書くことにする。このとき $AB$ の第 $j$ 列は $$\pbr{\begin{matrix} a_{1,1}b_{1,j} + \cdots + a_{1,n}b_{n,j} \\ \vdots \\ a_{n,1}b_{1,j} + \cdots + a_{n,n}b_{n,j} \end{matrix}} = \sum_{i = 1}^n b_{i,j} v_i $$ と表されるので $$ \det{AB} = \det\pbr{ \begin{matrix} \ds\sum_{i = 1}^n b_{i,1} v_i & \cdots & \ds\sum_{i = 1}^n b_{i,n} v_i \end{matrix} } $$ であり、行列式の斉次性と加法性(問題7~7)より \begin{align} \det{AB} &= \sum_{i_1 = 1}^n \cdots \sum_{i_n = 1}^n \det\pbr{ \begin{matrix} b_{i_1, 1} v_{i_1} & \cdots & b_{i_n, n} v_{i_n} \end{matrix} } \\&= \sum_{i_1 = 1}^n \cdots \sum_{i_n = 1}^n b_{i_1,1} \cdots b_{i_n,n} \det\pbr{ \begin{matrix} v_{i_1} & \cdots & v_{i_n} \end{matrix} } \end{align} となる。更に2つの列が一致する行列の行列式は $0$ である(問題6)ので、$i_1, \ldots, i_n$ が互いに異なるような $(i_1, \ldots, i_n)$ に関する和を取ればよい。よって置換を用いて \begin{align} \det{AB} &= \sum_{\sigma \in S_n} b_{\sigma(1),1} \cdots b_{\sigma(n),n} \det\pbr{ \begin{matrix} v_{\sigma(1)} & \cdots & v_{\sigma(n)} \end{matrix} } \end{align} と表せる。また、行列の列を入れ替えるごとに行列式の値は $\minus 1$ 倍になるので(問題5) \begin{align} \det{AB} &= \sum_{\sigma \in S_n} b_{\sigma(1),1} \cdots b_{\sigma(n),n} \pbr{ (\sgn \sigma) \det\pbr{ \begin{matrix} v_1 & \cdots & v_n \end{matrix} } } \\ \\ &= \pbr{ \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) b_{\sigma(1),1} \cdots b_{\sigma(n),n}} \det\pbr{ \begin{matrix} v_1 & \cdots & v_n \end{matrix} } \\ \\ &= \det{\pbr{B^\top}}\det{A} =\det A \det B \end{align}

問題12(左上と右下の行列に分割)

次を示せ。 \begin{align} &\det \pbr{ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k, k} & 0 & \cdots & 0 \\ * & \cdots & * & b_{1,1} & \cdots & b_{1,\ell} \\ \vdots & \ & \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ * & \cdots & * & b_{\ell,1} & \cdots & b_{\ell,\ell} \end{matrix} } \\ \\ ={}& \det \pbr{ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} \\ \vdots & \ & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k, k} \end{matrix} } \det \pbr{ \begin{matrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,\ell} \\ \vdots & \ & \vdots \\ b_{\ell,1} & \cdots & b_{\ell,\ell} \end{matrix} } \end{align}

解答例

$n = k + \ell$ とし、左辺の行列を $A = (a_{i,j})_{i,j}$ とする。

まず右辺を式変形する。いま

$i,j \in \cbr{1, \ldots, \ell}$ に対し $a_{k + i,k + j} = b_{i,j}$

なので、右辺は \begin{align} &\mathrel{\phantom{=}} \det \pbr{ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} \\ \vdots & \ & \vdots \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k, k} \end{matrix} } \det \pbr{ \begin{matrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,\ell} \\ \vdots & \ & \vdots \\ b_{\ell,1} & \cdots & b_{\ell,\ell} \end{matrix} } \\ \\ &= \pbr{\sum_{\tau \in S_k} (\sgn \tau) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{k,\tau(k)}} \pbr{\sum_{\eta \in S_\ell} (\sgn \eta) b_{1,\eta(1)} \cdots b_{\ell,\eta(\ell)}} \\ \\ &= \sum_{\tau \in S_k}\sum_{\eta \in S_\ell} (\sgn \tau)(\sgn \eta) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{k,\tau(k)} a_{k + 1,k + \eta(1)} \cdots a_{k + \ell,k + \eta(\ell)} \end{align} となる。

一方、左辺は $$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)}$$ であるが、いま $i \in \cbr{1, \ldots, k}, j \in \cbr{k + 1, \ldots, n}$ に対し $a_{i,j} = 0$ なので、$\sigma \in S_n$ で $\cbr{\sigma(1), \ldots, \sigma(k)} \neq \cbr{1, \ldots, k}$ なるものに対しては $$a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = 0$$ となる。よって $T_n = {\Big\{ {\sigma \in S_n} \,\Big|\, {\cbr{\sigma(1), \ldots, \sigma(k)} = \cbr{1, \ldots, k}} \Big\}}$ とすると $$\det A = \sum_{\sigma \in T_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)}$$ と書ける。$\sigma \in T_n$ は集合 $\cbr{1, \ldots, k}$ をそれ自身に写し、また $\cbr{k + 1, \ldots, k + \ell}$ もそれ自身に写すので、各 $\sigma \in T_n$ に対し、$(\tau, \eta) \in S_k \times S_\ell$ で $$ \sigma = \pbr{ \begin{matrix} 1 & \cdots & k & k + 1 & \cdots & k + \ell \\ \tau(1) & \cdots & \tau(k) & k + \eta(1) & \cdots & k + \eta(\ell) \end{matrix} } $$ を満たすものが一意に存在する。 ここで $\tau$ を $m$ 個の互換の積、$\eta$ を $m’$ 個の互換の積で表せるとすると $\sigma$ は $m + m’$ 個の互換の積で表せるので $$\sgn \sigma = \sgn \tau \sgn \eta$$ である。したがって \begin{align} \det A ={} &\sum_{\sigma \in T_n} (\sgn \sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \\={} &\sum_{\tau \in S_k}\sum_{\eta \in S_\ell} (\sgn \tau)(\sgn \eta) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{k,\tau(k)}a_{k+1,k+\eta(1)} \cdots a_{k+\ell,k + \eta(\ell)} \end{align} となり、左辺と右辺が等しいことが導かれた。

定義(余因子)

正方行列 $A$ に対し、$A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i + j}$ を掛けた値を $A$ の $(i, j)$-余因子と呼び、$A_{i,j}$ と書く。すなわち $$ A_{i, j} = (-1)^{i+j}\det\pbr{ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, j \minus 1} & a_{1, j + 1} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i \minus 1,1} & \cdots & a_{i \minus 1, j \minus 1} & a_{i \minus 1, j + 1} & \cdots & a_{i \minus 1, n} \\ a_{i + 1,1} & \cdots & a_{i + 1, j \minus 1} & a_{i + 1, j + 1} & \cdots & a_{i + 1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n, j \minus 1} & a_{n, j + 1} & \cdots & a_{n, n} \end{matrix} } $$ である。また行列 $(A_{i,j})_{i,j}$ の転置行列を $A$ の余因子行列と呼び $\tilde{A}$ と書く。

問題13(余因子展開)

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i,j})_{i,j}$ について、各 $\ell$ に対し、第 $\ell$ 列に関する余因子展開 \begin{align} a_{1,\ell} A_{1,\ell} + \cdots + a_{n,\ell} A_{n,\ell} &= \det A \end{align} が成り立つことを示せ。

※問題2より、第 $\ell$ 行に関する余因子展開 $$a_{\ell,1} A_{\ell,1} + \cdots + a_{\ell,n} A_{\ell,n} = \det A$$ も成り立つ。

解答例

$A$ の第 $\ell$ 列は $$ \pbr{ \begin{matrix} a_{1, \ell} \\ \vdots \\ a_{n, \ell} \end{matrix} } = a_{1,\ell} \pbr{\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}} + \cdots + a_{n,\ell} \pbr{\begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{matrix}} $$ と書けることに注意。よって行列式の斉次性と加法性(問題7~7)より、$\det A$ は \begin{align} \sum_{k = 1}^n a_{k,\ell} \det \pbr{ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, \ell \minus 1} & 0 & a_{1, \ell + 1} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k \minus 1,1} & \cdots & a_{k \minus 1, \ell \minus 1} & 0 & a_{k \minus 1, \ell + 1} & \cdots & a_{k \minus 1, n} \\ a_{k,1} & \cdots & a_{k, \ell \minus 1} & 1 & a_{k, \ell + 1} & \cdots & a_{k, n} \\ a_{k + 1,1} & \cdots & a_{k + 1, \ell + 1} & 0 & a_{k + 1, \ell + 1} & \cdots & a_{k + 1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n, \ell \minus 1} & 0 & a_{n, \ell + 1} & \cdots & a_{n, n} \end{matrix} } \end{align} と等しくなる。ここで第 $1$ 列と第 $\ell$ 列を入れ替え、更に第 $1$ 行と第 $k$ 行を入れ替えると、 \begin{align} \sum_{k = 1}^n a_{k,\ell} \det \pbr{ \begin{matrix} 1 & a_{k,1} & \cdots & a_{k, \ell \minus 1} & a_{k, \ell + 1} & \cdots & a_{k, n} \\ 0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1, \ell \minus 1} & a_{1, \ell + 1} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{k \minus 1,1} & \cdots & a_{k \minus 1, \ell \minus 1} & a_{k \minus 1, \ell + 1} & \cdots & a_{k \minus 1, n} \\ 0 & a_{k + 1,1} & \cdots & a_{k + 1, \ell + 1} & a_{k + 1, \ell + 1} & \cdots & a_{k + 1, n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n,1} & \cdots & a_{n, \ell \minus 1} & a_{n, \ell + 1} & \cdots & a_{n, n} \end{matrix} } \end{align} となり(問題5)、左上の $1$ 次正方行列と右下の $(n \minus 1)$ 次正方行列に分解すると(問題12)これは $\ds\sum_{k = 1}^n a_{k,\ell} A_{k, \ell}$ となる。

問題14(余因子展開のアナロジー)

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i,j})_{i,j}$ について、$k \neq \ell$ のとき次が成り立つことを示せ。 \begin{align} a_{1,k} A_{1,\ell} + \cdots + a_{n,k} A_{n,\ell} &= 0 \end{align} ※問題2より、$a_{k,1} A_{\ell,1} + \cdots + a_{k,n} A_{\ell,n} = 0$ も成り立つ。

解答例

$A$ の第 $\ell$ 列を第 $k$ 列で置き換えた行列 $$B = \overset{(1) \qquad\qquad (k) \qquad\qquad (\ell) \qquad\qquad (n)}{ \pbr{\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1, k} & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{1,n} \\\vdots & \ & \vdots& \ & \vdots& \ & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n, k} & \cdots & a_{n,k} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix}} } $$ を第 $\ell$ 列に沿って余因子展開すると $$ a_{1,k} B_{1,\ell} + \cdots + a_{n,k} B_{n,\ell} = \det B $$ となる(問題13)が、$A$ と $B$ は第 $\ell$ 列以外はみな等しいので \begin{align} B_{1,\ell} &= A_{1,\ell} & &\cdots & B_{n,\ell} &= A_{n,\ell} \end{align} であり、また $B$ は第 $k$ 列と第 $\ell$ 列が一致するので $\det B = 0$ である(問題6)。よって $$ a_{1,k} A_{1,\ell} + \cdots + a_{n,k} A_{n,\ell} = 0 $$


定義

正方行列 $A$ が正則であるとは、正方行列 $B$ で $$AB = BA = I$$ となるものが存在することをいう。

命題

正方行列 $A$ に対し $AB = BA = I$ となる正方行列 $B$ は存在すればただ一つ。

定義

正則行列 $A$ に対し $AB = BA = I$ となる正方行列 $B$ を $A$ の逆行列といい、$A^{\minus 1}$ と書く。

問題15(余因子行列と行列式と逆行列の関係)

正方行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ に対し以下を示せ。

(i)

$A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) I$

(ii)

$A$ が正則であることと $\det A \neq 0$ は同値

(iii)

$A$ が正則行列ならば $A^{\minus 1} = \dfrac{1}{\det A}\tilde{A}$

解答例

(i)

$A = (a_{i,j})_{i,j}$ とする。$A \tilde{A}$ の第 $(i,j)$-成分は $a_{i,1}A_{j,1} + \cdots + a_{i,n}A_{j,n}$ であり、これは $i = j$ のとき $\det A$ であり $i \neq j$ のとき $0$ である(問題13~13)。よって $$A \tilde{A} = (\det A) I$$ となる。また $\tilde{A} A$ の第 $(i,j)$-成分は $a_{1,j}A_{1,i} + \cdots + a_{n,j}A_{n,i}$ であり同様に $$\tilde{A} A = (\det A) I$$ となる。

(ii)

$A$ が正則のとき、$AB = I$ とすると $$\det A \det B = \det (AB) = \det I = 1$$ となるので $\det A \neq 0$ である。

逆に $\det A \neq 0$ のとき、(i) より $$A \pbr{\dfrac{1}{\det A}\tilde{A}} = \pbr{\dfrac{1}{\det A}\tilde{A}} A = I$$ となるので $A$ は正則。

(iii)

$A$ が正則行列のとき、(i) を用いて $$\tilde{A} = \tilde{A}AA^{\minus 1} = (\det A) A^{\minus 1}$$ となり、(ii) より $\det A \neq 0$ なので $A^{\minus 1} = \dfrac{1}{\det A}\tilde{A}$ である。

mizuha
(ii)より $n$ 次正方行列 $A$ に対し
$\mathop{\text{rank}} A = n$ なら $\det A \neq 0$
$\mathop{\text{rank}} A \lt n$ なら $\det A = 0$
ってことがわかる
問題16(逆行列の行列式)

正則行列 $A$ に対し $\det\pbr{A^{\minus 1}} = \dfrac{1}{\det A}$ であることを示せ。

解答例

$\det{A}\det\pbr{A^{\minus 1}} = \det\pbr{AA^{\minus 1}} = \det{I} = 1$ であり、$\det A \neq 0$ なので $$\det\pbr{A^{\minus 1}} = \dfrac{1}{\det A}$$ である。

mizuha
行列 $A$ が具体的に与えられて
$\abs{A^{\minus 1}}$ を求めよっていう問題が出たときに
$A^{\minus 1}$ を計算してから その行列式を計算するのは大変
$\abs{A}$ を計算してその逆数を取って $\dfrac{1}{\abs{A}}$ を求めるほうが楽

問題17(対称ブロック行列の行列式)

$n$ 次正方行列 $A, B$ に対し $$ \det\pbr{ \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} } = \det(A + B)\det(A \minus B) $$ であることを示せ。

解答例

$2n$ 次正方行列 $\pbr{ \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} }$ に対し、各 $k = 1, \ldots, n$ について

第 $k$ 列の $1$ 倍を第 $n + k$ 列に加算

の操作を行っても行列式は変わらないので $$ \det\pbr{ \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} } = \det\pbr{ \begin{matrix} A & B + A \\ B & A + B \end{matrix} } $$ である。さらにこの右辺の行列に対し、各 $k = 1, \ldots, n$ について

第 $n + k$ 行の $\minus 1$ 倍を第 $k$ 行に加算

の操作を行っても行列式は変わらないので $$ \det\pbr{ \begin{matrix} A & B + A \\ B & A + B \end{matrix} } = \det\pbr{ \begin{matrix} A \minus B & O \\ B & A + B \end{matrix} } $$ である。この値は $\det(A + B)\det(A \minus B)$ に等しい。

問題18(歪対称ブロック行列の行列式)

$n$ 次複素数値正方行列 $A, B$ に対し $$ \det\pbr{ \begin{matrix} A & B \\ \minus B & A \end{matrix} } = \det(A + i B)\det(A \minus iB) $$ であることを示せ($i$ は虚数単位)。

解答例

$2n$ 次正方行列 $\pbr{ \begin{matrix} A & B \\ \minus B & A \end{matrix} }$ に対し、各 $k = 1, \ldots, n$ について

第 $k$ 列の $i$ 倍を第 $n + k$ 列に加算

の操作を行っても行列式は変わらないので $$ \det\pbr{ \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} } = \det\pbr{ \begin{matrix} A & B + iA \\ B & A + iB \end{matrix} } $$ である。さらにこの右辺の行列に対し、各 $k = 1, \ldots, n$ について

第 $n + k$ 行の $\minus i$ 倍を第 $k$ 行に加算

の操作を行っても行列式は変わらないので $$ \det\pbr{ \begin{matrix} A & B + iA \\ B & A + iB \end{matrix} } = \det\pbr{ \begin{matrix} A \minus iB & O \\ B & A + B \end{matrix} } $$ である。この値は $\det(A + iB)\det(A \minus iB)$ に等しい。


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