集合を使って「写像」を作る｜順序対・直積・写像の構成

集合 $a, b$ に対し、集合 $(a, b)$ を $$(a, b) = \cbr{\cbr{a}, \cbr{a, b}}$$ で定める。この形の集合を順序対と呼ぶ。

集合 $A, B$ に対し、集合 $A \times B$ を $$A \times B = \iset{(a, b)}{\text{$a \in A$ and $b \in B$}}$$ で定め、$A$ と $B$ の直積と呼ぶ。

集合 $A, B$ の直積 $A \times B$ の部分集合 $f$ が、各 $a \in A$ に対して条件

を満たすとき、$f$ を $A$ から $B$ への写像と呼び $f: A \rightarrow B$ と書く。 また、この $b$ を $f(a)$ と書く。

写像 $f: A \rightarrow B$ において $A$ を始域（あるいは定義域）、$B$ を終域と呼ぶ。

写像 $f: A \rightarrow B$ と $A$ の部分集合 $A’$ に対し $$f[A’] = \iset{f(a)}{a \in A’}$$ とし、$A’$ の $f$ による像と呼ぶ。

写像 $f: A \rightarrow B$ が各 $a_1, a_2 \in A$ に対し、

を満たすとき、$f$ は単射であるという。一方、 $$f[A] = B$$ を満たすとき、$f$ は全射であるという。

写像が単射でも全射でもあるとき、その写像は全単射であるという。