sup と inf の演習問題 23 問（解答付き）｜上限・下限

任意の $a \in A$ に対し $a \lt 1$ なので $a \leq 1$ である。

$x \lt 0$ のときは $$x \lt 0 \in A$$ である。一方 $0 \leq x \lt 1$ のときは $$x \lt \frac{1+x}{2} \in A$$ である。よって $1$ より小さな実数は $A$ の上界ではない。

$A$ のどの要素も正実数なので $0$ は $A$ の下界である。

$x \gt 0$ を任意に取る。 $\displaystyle x \gt \frac{1}{n}$ となる正整数 $n$ が存在すればよい。つまり $\displaystyle n \gt \frac{1}{x}$ を満たす正整数 $n$ が存在すればよいが、それは $$n = \left\lceil\dfrac{1}{x}\right\rceil + 1$$ とすればよい（あるいはアルキメデスの原理よりそのような $n$ が存在する）。

$\max$ の定義より自明。

$x \lt \max A$ とすると、$x$ より大きな $A$ の要素として $\max A$ が存在するので $x$ は $A$ の上界ではない。

任意の $q \in A$ に対し $q \lt 1$ なので $q \leq 1$ である。

$x \lt 1$ を任意に取る。有理数の稠密性より $$x \lt q \lt 1$$ となる $q \in \QQ$ が存在する。$x \lt q \in A$ なので $x$ は $A$ の上界ではない。

$a \in A \cup B$ を任意に取る。$a \in A$ のときは $$a \leq \sup A \leq \max \cbr{ \sup A, \sup B }$$ であり、一方 $a \in B$ のときも $$a \leq \sup B \leq \max \cbr{ \sup A, \sup B }$$ であるので、$\max \cbr{ \sup A, \sup B }$ は $A$ の上界である。

$x \lt \max \cbr{ \sup A, \sup B }$ を任意に取る。$x \lt \sup A$ または $x \lt \sup B$ であることに注意。

$x \lt \sup A$ のとき、$x$ は $A$ の上界ではないので、 $$x \lt c \in A$$ となる $c$ が存在する。 $x \lt \sup B$ のときも同様に、$$x \lt c \in B$$ となる $c$ が存在する。 よってどちらの場合も $$x \lt c \in A \cup B$$ となる $c$ が存在する。

$A + B$ の要素 $a + b \ (a \in A, b \in B)$ を任意に取ると、 $a \in A$ より $$a \leq \sup A$$ であり、 $b \in B$ より $$b \leq \sup B$$ であるので $a + b \leq \sup A + \sup B$ である。

$x \lt \sup A + \sup B$ を任意に取り、$x$ が $A + B$ の上界でないことを示す。

$x \minus \sup A \lt \sup B$ なので $x \minus \sup A$ は $B$ の上界ではない。よって $$x \minus \sup A \lt b$$ となる $b \in B$ が存在する。 このとき $x \minus b \lt \sup A$ となるので $x \minus b$ は $A$ の上界ではない。よって $$x \minus b \lt a$$ となる $a \in A$ が存在する。 よって $$x \lt a + b \in A + B$$ となり、 $x$ は $A + B$ の上界ではない。

$AB$ の要素 $ab \ (a \in A, b \in B)$ を任意に取ると、 $a \in A$ より $$a \leq \sup A$$ であり、 $b \in B$ より $$b \leq \sup B$$ である。$a$ も $b$ も非負なので $ab \leq \sup A \sup B$ である。

$x \lt \sup A \sup B$ を任意に取り、$x$ が $AB$ の上界でないことを示す。

$\sup A = 0$ のときは、$0$ が $A$ の上界となるので $A$ の任意の要素は $0$ 以下。すなわち $A = \cbr{0}$ であり、$AB = \cbr{0}$ となるので $$\sup(AB) = 0 = \sup A \sup B$$ である。$\sup B = 0$ のときも同様。

以下、$\sup A$ も $\sup B$ も正であるとする。 $\displaystyle\frac{x}{\sup A} \lt \sup B$ なので $\displaystyle\frac{x}{\sup A}$ は $B$ の上界ではない。よって $$\frac{x}{\sup A} \lt b$$ となる $b \in B$ が存在する。 このとき $\displaystyle\frac{x}{b} \lt \sup A$ となるので $\displaystyle\frac{x}{b}$ は $A$ の上界ではない。よって $$\frac{x}{b} \lt a$$ となる $a \in A$ が存在する。 よって $$x \lt ab \in AB$$ となり、 $x$ は $AB$ の上界ではない。

$cA$ の要素 $ca \ (a \in A)$ を任意に取る。$a \in A$ なので $$a \leq \sup A$$ であり、$c \geq 0$ より $ca \leq c\sup A$ である。

$x \lt c \sup A$ を任意に取り、$x$ が $cA$ の上界でないことを示す。

$- A$ の要素 $- a \ (a \in A)$ を任意に取る。$\inf A$ は $A$ の下界なので $$\inf A \leq a$$ である。よって $- a \leq – \inf A$ となるので $- \inf A$ は $- A$ の上界である。

$x \lt – \inf A$ とする。このとき $\inf A \lt -x$ なので $-x$ は $A$ の下界ではない。よって $$a \lt -x$$ なる $a \in A$ が存在する。したがって $x \lt -a \in -A$ であり、$x$ は $-A$ の上界ではない。

$x \lt \sup A$ とする。このとき $x$ は $A$ の上界ではないので $$x \lt a$$ なる $a \in A$ が存在する。$A \subseteq B$ より $a \in B$ であり、$B$ の要素で $x$ より大きなものが存在するので、$x$ は $B$ の上界ではない。

$a \in A \cap B$ を任意に取る。このとき $a \leq \sup A$ と $a \leq \sup B$ が成り立つので $$a \leq \min \cbr{\sup A, \sup B}$$ を得る。よって $\min \cbr{\sup A, \sup B}$ は $A$ の上界である。

$\dnorm{f} = \sup \cbr{0} = 0$ より従う。

$\displaystyle\sup_{x \in X} \abs{f(x)} = 0$ なので各 $x \in X$ に対し $\abs{f(x)} \leq 0$ であり、したがって $\abs{f(x)} = 0$ なので

各 $x \in X$ に対し ${f(x)} = 0$

すなわち $f = 0$ である。

$q \in A$ を任意に取ると $q^2 \lt 2$ なので $$-\sqrt{2} \lt q \lt \sqrt{2}$$ であり特に $q \leq \sqrt{2}$ である。

$x \lt \sqrt{2}$ を任意に取る。

$x \in X, y \in Y$ を任意に取る。$f(x, y) = f(x, y)$ であるが、この右辺を $x \in X$ で上限を取って $$f(x,y) \leq \sup_{x \in X} f(x,y)$$ であり、更にこの右辺を $y \in Y$ で上限を取って $$f(x,y) \leq \sup_{y \in Y}\sup_{x \in X} f(x,y)$$ である。この右辺は定数なので、$y \in Y$ について上限を取る（参考：問題１３）と $$\sup_{y \in Y}f(x,y) \leq \sup_{y \in Y}\sup_{x \in X} f(x,y)$$ であり、更に $x \in X$ について上限を取ると $$\sup_{x \in X}\sup_{y \in Y}f(x,y) \leq \sup_{y \in Y}\sup_{x \in X} f(x,y)$$ である。

$x \in X, y \in Y$ を任意に取る。$f(x, y) = f(x, y)$ であるが、この右辺を $(x, y) \in X \times Y$ で上限を取って $$f(x,y) \leq \sup_{(x, y) \in X \times Y} f(x,y)$$ である。この右辺は定数なので、$x \in X$ について上限を取ると $$\sup_{x \in X}f(x,y) \leq \sup_{(x, y) \in X \times Y} f(x,y)$$ であり、更に $y \in Y$ について上限を取ると $$\sup_{y \in Y}\sup_{x \in X}f(x,y) \leq \sup_{(x, y) \in X \times Y} f(x,y)$$ である。

$x \in X, y \in Y$ を任意に取る。$f(x, y) = f(x, y)$ であるが、この右辺を $y \in Y$ で上限を取って $$f(x,y) \leq \sup_{y \in Y} f(x,y)$$ であり、更にこの右辺を $x \in X$ で上限を取って $$f(x,y) \leq \sup_{x \in X}\sup_{y \in Y} f(x,y)$$ である。この右辺は定数なので、$(x, y) \in X \times Y$ について上限を取ると $$\sup_{(x, y) \in X \times Y}f(x,y) \leq \sup_{x \in X}\sup_{y \in Y} f(x,y)$$ である。